使用这个剪纸 | 公式可以将圆变成正方形麻省理工学院新闻

Kirigami 将弹出式书籍提升到一个全新的水平。 日本纸工艺涉及在纸上切割图案，将二维纸片部分折叠后变成复杂的三维结构。 在艺术家的手中，剪纸可以制作出自然、建筑等结构的非常精细和精致的复制品。

科学家和工程师也从剪纸中汲取灵感，将剪纸的原理应用于设计机器人抓手、可伸缩电子设备、集水板和其他变形材料和设备。 大多数情况下，这些发明都是从头开始设计的产品。 工程师没有蓝图来指定将材料从一种所需形状转换为另一种形状的切割模式——也就是说，直到现在。

A 新研究 计算自然科学 它提出了一种通用算法策略，可以解决受剪纸启发的任何二维变换。 该方法可用于确定要进行的切割的角度和长度，以便在打开并推到一起时，薄片可以从一种所需形状转变为另一种形状，就像一张复杂的可扩展网。

通过他们的新方法，研究人员设计并构建了许多可变形的二维剪纸结构，包括一个可以变成正方形的圆形，以及一个可以变成心形的三角形。

麻省理工学院应用数学博士后教授兼讲师 Gary Choi 说：“人们已经将方形和圆形视为数学中不可能解决的问题之一：你不能将一个变成另一个。” “但是有了剪纸，我们实际上可以把方形变成圆形。”

对于工程师来说，新方法可用于解决各种设计问题，例如如何设计机器人从一种形式转换为另一种形式以执行特定任务或在特定空间中导航。 还有设计高效材料的潜力，例如作为建筑物和家庭的智能覆盖物。

“我们首先想到的应用之一是建筑立面，”麻省理工学院机械工程助理教授 Caitlin Baker 说。 “这可以帮助我们制造出类似剪纸的大型面孔，这些面孔可以改变形状以控制阳光和紫外线辐射并适应环境。”

Baker 和 Choi 以及 Optiver 的定量研究员 Levi Dowdy 和哈佛大学教授 L. Mahadevan 是这项新研究的共同作者。

之间的空间

这项研究源于该团队之前在剪纸和折纸方面的工作——日本的折纸艺术。

“我们发现剪纸和折纸之间存在很多数学联系，”Choi 说。 “所以我们想提出一个数学公式，可以帮助人们设计出各种各样的图案。”

2019 年，该团队为剪纸设计了一种改进方法，以找到将一种形状转换为另一种形状所需的切割模式。 但 Choi 表示，这种方法的计算量非常大，需要很长时间才能得出理想的模式来实现特定的转变。

2021 年，研究人员遇到了类似的折纸问题，并发现通过稍微不同的视角，他们能够得出更有效的策略。 该团队没有绘制出单个折叠的图案（类似于单个剪纸作品），而是专注于从一个简单的折叠种子中生长出一个图案。 通过一块一块地工作，并建立板之间的关系，例如如果折叠相邻的板，一个板将如何移动，他们能够推导出一种相对有效的算法来规划任何折纸结构的设计。

该团队想知道是否可以将类似的方法应用于剪纸。 在传统的剪纸中，一旦在一张纸上进行了切割，就可以将这张纸部分折叠起来，由此产生的空白空间形成一个三维结构。 就像折纸褶皱之间的面板一样，切口之间的空白空间及其彼此之间的关系能否产生更有效的剪纸设计版本？ 这个问题是团队进行新研究的动力。

数学链接

该研究的重点是二维剪纸变换。 研究人员考虑了一种通用的剪纸设计，该设计由相互连接的四边形瓷砖组成的马赛克组成，每块瓷砖都以不同的角度和大小切割。 概念马赛克以单一形状开始，可以分开并推在一起形成一个全新的形状。 挑战在于描述一种形状如何根据瓷砖之间的空白空间以及当瓷砖被拉动和推回时空间如何变化来转变为另一种形状。

“如果瓷砖本身是坚固且不变的，那么它们之间的空白空间就是移动的机会，”贝克说。

该团队首先研究了空白空间的最简单表示，即菱形，或者他们所说的“四杆链接”。 菱形的每一侧代表实心瓷砖的条带或边缘。 菱形的每个角代表连接正方形的链接或铰链。 通过改变菱形边缘的长度和角度，团队可以研究变化之间的空白空间如何变化。

通过研究越来越大的四杆连杆组，该团队确定了杆的角度和长度、各个空隙的形状以及整个组件的形状之间的关系。 他们将这些关系转化为一个通用公式，发现它可以有效地确定将二维纸张从一种所需形状转换为另一种所需形状所需的切割模式——包括角度和长度。

“如果没有这样的工具，我可能会在 Matlab 中暴力解决这个问题，或者猜测和检查，但要得到可以从圆形变成方形的东西需要很长时间，”Baker 说。

在模拟中，该团队发现该公式实际上可以找到一种瓷砖图案，将圆形马赛克变成正方形，以及几乎任何形状变成任何其他所需形状。

展望未来，该团队开发了两种制造方法来实际实现他们的配方设计。 他们很快意识到，制作可转移马赛克的主要挑战是找到合适的材料作为瓷砖连接铰链。 接头必须坚固且易于弯曲。

“我想，什么东西拉力这么大，抗撕裂，弯曲半径为零，跟精密铰链差不多？” 贝克说。 事实证明，答案是纸巾。

该团队使用了两种方法——3D 打印和压铸——将小条织物嵌入四面塑料砖中，以一种紧密结合塑料砖同时让它们相互靠在一起的方式。 使用这两种方法，该团队制作了一个由圆形变成正方形的马赛克，以及一个由简单三角形组成的马赛克，变成了更复杂的心形。

“我们基本上可以进入任何二维形状，”Choi 说。 “使用我们的数学公式，这是万无一失的。我们现在正在寻求将其扩展到 3D 剪纸中。”